Esta pacote tem o objetivo de possibilitar a definição e a execução de simulações de modelos de equilíbrio parcial e geral. A ideia é ser algo similar ao GAMS e GEMPACK.
A definição dos modelos segue a lógica discutida em A simple structure for CGE models by Xiao-guang Zhang.
Structure of variables and equations (Zhang, 2013)
Nessa abordagem, as variáveis exógenas e endógenas serão classificadas em dois tipos: definidas ou não-definidas. As variáveis exógenas, por definição, são definidas. As endógenas pode ser dos dois tipos. As variáveis definidas são aquelas que podem ser construídas a partir dos valores das demais variáveis, das chamadas equação de definição. Já as não-definidas são aquelas que os valores serão definidos a partir de condições de equilíbrio de mercado (MCCs).
O modelo de armington consiste no problema do consumidor que deve alocar sua renda em produtos de \(N\) diferentes origens, que chamaremos de variedades. O consumidor tem uma função de utilidade do tipo CES com elasticidade de substituição. Dessa forma, o problema do consumidor é o seguinte:
\[ \max_{{c_1,...,c_n}}U = \left[\sum_{i=1}^N\alpha_i^\frac{1-\sigma}{\sigma} c_i^\frac{\sigma-1}{\sigma}\right]^\frac{\sigma}{\sigma-1}\]
\[ s.a. \sum_{i=1}^N p_ic_i = R,\]
onde \(p_i = p_i^s(1+t_i)\) é o preço pago ao produtor adicionado de uma tarifa ad valorem \(t_i\).
Resolvendo o problema do consumidor, chega-se a seguinte equação de demanda para a variedade \(i\):
\[c_i = \left(\frac{\alpha_i p_i}{P}\right)^{-\sigma} Q\] onde \(Q=R/P\) e \(P\) é o índice de preços da CES que tem a seguinte formula:
\[ P = \left[\sum_i (\alpha_i p_i)^{1-\sigma}\right]^\frac{1}{1-\sigma}\]
Adicionalmente, pode-se definir uma função de demanda total do tipo elasticidade constante:
\[Q = k^d P^{\eta}\]
onde \(\eta < 0\) é elasticidade-preço da demanda.
Por fim, a oferta de cada variedade também é dada por uma função do tipo elasticidade constante:
\[ q_i = k^s \left(\frac{p_i}{1+t_i}\right)^{\epsilon_i}\]
Dessa forma, o sistema é formado por essas equações para as variáveis \(Q\) (definida), \(q_i\) (definida), \(c_i\) (definida), \(P\) (definida) e \(p_i\) (não-definida):
\[Q = k^d P^{\eta}\]
\[ q_i = k^s \left(\frac{p_i}{1+t_i}\right)^{\epsilon_i}\]
\[c_i = \left(\frac{\alpha_i p_i}{P}\right)^{-\sigma} Q\]
\[ P = \left[\sum_i (\alpha_i p_i)^{1-\sigma}\right]^\frac{1}{1-\sigma}\]
\[c_i = q_i\]
Agora, vamos definir o modelo no R. Para isso, vamos escrever as equações em variações exatas. Isto é, a variação de uma variável \(x\) entre o equilíbrio base e o novo equilíbrio (\(x'\)) é denotada por \(\hat{x} = \frac{x'}{x}\).
Para construir o modelo, precisaremos definir os conjuntos de índices (por exemplo, o nome das regiões fornecedoras \(i\)), os parâmetros (acomoda parâmetros e variáveis exógenas), as variáveis e as equações.
library(emr) #load the package!
library(tidyverse)
params <- list()
variables <- list()
equations <- list()
sets <- list()
Agora iremos definir os parâmetros:
params[["sigma"]] <- create_param(
value = 4,
indexes = list(sigma = "sigma"),
desc = "elasticity of substitution"
)
params[["eta"]] <- create_param(
value = -1,
indexes = list(eta = "eta"),
desc = "price elasticity of total demand"
)
params[["epsilon"]] <- create_param(
value = c(1, 10, 10),
indexes = sets['REG'],
desc = "price elasticity of individuals supplies"
)
params[["tau"]] <- create_param(
value = c(1, 1, 1),
indexes = sets['REG'],
desc = "change in the tarrif power (1 + t)"
)
# v0 will be used to compute shares
params[["v0"]] <- create_param(
value = c(60, 30, 10),
indexes = sets['REG'],
desc = "initial values"
)
params
## $sigma
## $sigma$value
## sigma
## 4
##
## $sigma$desc
## [1] "elasticity of substitution"
##
##
## $eta
## $eta$value
## eta
## -1
##
## $eta$desc
## [1] "price elasticity of total demand"
##
##
## $epsilon
## $epsilon$value
## reg1 reg2 reg3
## 1 10 10
##
## $epsilon$desc
## [1] "price elasticity of individuals supplies"
##
##
## $tau
## $tau$value
## reg1 reg2 reg3
## 1 1 1
##
## $tau$desc
## [1] "change in the tarrif power (1 + t)"
##
##
## $v0
## $v0$value
## reg1 reg2 reg3
## 60 30 10
##
## $v0$desc
## [1] "initial values"
\[ \hat{P} = \left[\sum_i \pi_ip_i^{1-\sigma}\right]^\frac{1}{1-\sigma},\]
onde \(\pi_i = \frac{v^0_i}{\sum_i v^0_i}\) é o share da variedade \(i\) no dispêndio inicial. \(v^0_i\) é o dispêndio inicial em cada variedade \(i\).
\[ \hat{Q} = \hat{P}^\eta \]
Inicialmente, é preciso definir as variáveis:
variables[["Q"]] <- create_variable(
value = 1,
indexes = list(Q = "Q"),
type = "defined",
desc = "change in total demand"
)
E na sequência a equação:
\[\hat{q}_i = \left(\frac{\hat{p_i}}{\hat{\tau_i}}\right)^{\epsilon_i} \] onde \(\hat{\tau_i} = \frac{1 + \hat{t_i}}{1 + t_i}\).
armington_model <- list(
sets = sets,
params = params,
variables = variables,
equations = equations
)
sol0 <- solve_emr(armington_model)
## Iteration: 0 ||F(x0)||: 0
armington_model$params$tau$value['reg2'] <- 1.1
sol1 <- solve_emr(armington_model, method = "nleqslv")
# Check the solution message
sol1$sol$message
## [1] "Function criterion near zero"
# See the results for the internal prices
enframe(sol1$variables$p) %>%
ggplot(aes(x = name, y = value - 1)) +
geom_col(width = 0.7) +
scale_y_continuous(labels = scales::percent) +
labs(
x = "Region",
y = "Change in Prices"
)