Presidente da República Luiz Inácio Lula da Silva Ministro da Educação Fernando Haddad Secretário Executivo José Henrique Paim Fernandes Secretária de Educação Especial Claudia Pereira Dutra Ministério da Educação Secretaria de Educação Especial Esplanada dos Ministérios, Bloco L, 6º andar, Gabinete CEP 70047-901 -- Brasília -- DF Fone: (61) 2104-8651 -- 2104-9258 Fax: (61) 2104-9265 e-mail: ~,seesp@mec.gov.br~, Site: ~,www.mec.gov.br~, ISBN: 978-85-60331-04-8

¨ I Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) Brasil. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Especial. Código Matemático Unificado para a Língua Portuguesa/elaboração: Cerqueira, Jonir Bechara... [et al.]. -- Brasília: Ministério da Educação, Secretaria de Educação Especial, 2006. 89p. : il. 1. Educação Especial. 2. Grafia Braille para a Matemática. 3. Braille. I. Título. CDU 003.24:51

FICHA TÉCNICA Secretária de Educação Especial Claudia Pereira Dutra Diretora do Departamento de Políticas da Educação Especial Claudia Maffini Griboski Coordenadora Geral de Desenvolvimento da Educação Especial Kátia Aparecida Marangon Barbosa Tradução/Elaboração Jonir Bechara Cerqueira Maria da Gloria de Souza Almeida Maria Gloria Batista da Mota Regina Fátima Caldeira de Oliveira Elza Maria de Araújo Carvalho Abreu

¨ III Revisão Elza Maria de Araújo Carvalho Abreu Jonir Bechara Cerqueira Maria Gloria Batista da Mota Maria Helena Pereira da Silva Maria do Socorro Rodrigues da Silva Martha Marilene de Freitas Sousa Regina Fátima Caldeira de Oliveira Renata Dias de Souza Esta edição do *Código Matemático Unificado para a Língua Portuguesa* foi revista e atualizada de acordo com a *Grafia Braille para a Língua Portuguesa*, documento elaborado pela Comissão Brasileira do Braille e pela Comissão de Braille de Portugal e aprovado pelo Ministério da Educação por meio da Portaria 2.678, de 24 de setembro de 2002.

¨ V ÍNDICE APRESENTAÇÃO :::::::::::::: 1 INTRODUÇÃO :::::::::::::::: 3 OBSERVAÇÕES ::::::::::::::: 11 Capítulo 1 -- Prefixos alfabéticos e sinais unificadores :::::::::::::: 15 1.1 Prefixos alfabéticos ::::::::::::::: 15 1.2 Representação braille do alfabeto grego ::::::::: 19 1.3 Sinais unificadores e parênteses auxiliares ::::: 25 Capítulo 2 -- Índices e marcas :::::::::::::::::::: 29 2.1 Posições dos índices ::::::::::::::::::: 29 2.2 Índices inferiores e índices superiores :::::::: 30 2.3 Marcas ::::::::::::::: 33 2.3.1 Marcas à direita em índice superior :::::::: 33 2.3.2 Marcas em sobrescrito ::::::::::::::: 37 2.4 Símbolos com vários índices ::::::::::::::::::: 39 2.4.1 Índices inferiores e índices superiores simultâneos ::::::::::::::: 39 2.4.2 Caso geral :::::::: 40 2.5 Índices deslocados ::: 41 2.6 Índices numéricos abreviados :::::::::::::::: 43 Capítulo 3 -- Números :::: 45 3.1 Caracteres árabes ou algarismos ::::::::::::: 45 3.2 Números decimais e fracionários :::::::::::: 47 3.3 Números representados em distintas bases :::::::: 50 3.4 Variantes tipográficas dos números ::::::::::::::: 51 3.5 Representação dos principais conjuntos numéricos ::::::::::::::::: 52 3.6 Ordinais ::::::::::::: 52 3.7 Números romanos :::::: 53 3.8 Exemplos de transcrições de medidas ::: 53

¨ VII Capítulo 4 -- Operações aritméticas fundamentais e relações numéricas elementares ::::::::::::::: 55 4.1 Sinais de operações aritméticas elementares ::: 55 4.2 Relações numéricas elementares ::::::::::::::: 57 4.3 Relações negativas ::: 60 4.4 Outras representações aritméticas ::::::::::::::: 60 Capítulo 5 -- Frações, potências e raízes :::::::: 63 5.1 Frações :::::::::::::: 63 5.2 Potências :::::::::::: 66 5.3 Raízes ::::::::::::::: 67 5.4 Exemplos de transcrição de expressões algébricas :::::::::::::::: 68 Capítulo 6 -- Teoria de conjuntos e lógica :::::::: 71 6.1 Representações elementares ::::::::::::::: 71 6.2 Lógica ::::::::::::::: 79 6.3 Outras notações :::::: 83 6.4 Exemplos de notação de teoria de conjuntos :::: 85 Capítulo 7 -- Aplicações (funções) ::::::::::::::: 87 7.1 Notações elementares ::::::::::::::: 87 7.2 Limites :::::::::::::: 92 7.3 Derivadas :::::::::::: 93 7.4 Integrais :::::::::::: 97 7.5 Notações sobre funções determinadas :::::: 99 7.5.1 Sucessões, progressões e matrizes :::: 99 7.5.2 Funções logarítmicas :::::::::::::: 102 7.5.3 Funções trigonométricas e suas inversas :::::::::::::::::: 103 7.5.4 Funções hiperbólicas e suas inversas :::::::::::::::::: 103 7.6 Símbolos usuais com significados diversos ::::: 104 7.7 Exemplos ilustrativos :::::::::::::: 107

¨ IX Capítulo 8 -- Geometria :::::::::::::::: 109 8.1 Notações elementares, vetores e figuras ::::::::: 109 8.2 Medidas angulares :::: 114 8.3 Relações e operações ::::::::::::::::: 116 Apêndice I :::::::::::::::: 121 Apêndice II :::::::::::::: 125 Bibliografia ::::::::::::::: 127 <11>

APRESENTAÇÃO O *Código Matemático Unificado para a Língua Portuguesa* reúne as aspirações dos professores brasileiros e da Ibero-América, que por longos anos buscaram uma solução unificada e adaptada às características do Sistema Braille utilizado na Europa e na América Latina. Muito se deve aos profissionais da área da educação de alunos com deficiência visual que movimentaram órgãos nacionais e internacionais. Seus esforços estão cristalizados na existência da Comissão Brasileira do Braille, que, ao atingir o seu magno objetivo, oferece hoje ao sistema educacional brasileiro o *Código Matemático Unificado para a Língua Portuguesa -- CMU*. O inestimável apoio do governo brasileiro por meio do Ministério da Educação/Secretaria de Educação Especial e seus parceiros representados especialmente pelo Instituto Benjamin Constant -- IBC, Fundação Dorina Nowill para Cegos -- FDNC e a União Brasileira de Cegos -- UBC, comprovam a importância da união de esforços que resultou na elaboração de um documento atualizado e da maior relevância para a educação de cegos na era da informatização -- o *Código Matemático Unificado para a Língua Portuguesa*. Claudia Pereira Dutra Secretária de Educação Especial -- MEC <13> ::::::::::::::::::::::::

INTRODUÇÃO A aplicação do Sistema Braille à Matemática foi proposta por Louis Braille na versão do Sistema editada em 1837. Nessa ocasião, foram apresentados os símbolos fundamentais para os algarismos e as convenções para a Aritmética e a Geometria. Esta simbologia fundamental, entretanto, nem sempre foi adotada nos países que vieram a utilizar o Sistema Braille, verificando-se, posteriormente, diferenças regionais e locais mais ou menos acentuadas, chegando a prevalecer, como hoje, diversos códigos para a Matemática e as ciências, em todo o mundo. Com o propósito de unificar a simbologia braille para a Matemática e as ciências, realizou-se na cidade de Viena, em 1929, um congresso, reunindo países da Europa e os Estados Unidos. Apesar desse esforço, a falta de acordo fez com que continuassem a prevalecer as divergências, que se acentuaram, face à necessidade de adoção de novos símbolos, determinada pela evolução técnica e científica do século XX. O Conselho Mundial para o Bem-Estar dos Cegos, hoje, União Mundial de Cegos, com o apoio da UNESCO, passou a se preocupar com o problema da unificação da simbologia matemática e científica, em nível mundial. Com esse propósito, a Organização Nacional de Cegos Espanhóis (ONCE), em princípios da década de 70, desenvolveu estudos através da análise e comparação de diferentes códigos em uso no mundo para, finalmente, propor um código unificado a que denominou *Notación Universal*. A Conferência Ibero-Americana para a Unificação do Sistema Braille, realizada em Buenos Aires, em 1973, foi uma tentativa de se <14> estabelecer um código único para países de língua castelhana e portuguesa. Na oportunidade, foram apresentados três trabalhos elaborados, respectivamente, pela Espanha, Argentina e Brasil. A acentuada divergência entre os códigos inviabilizou um desejável acordo. O Comitê Executivo do Conselho Mundial para o Bem-Estar dos Cegos, reunido na cidade de Riad, Arábia Saudita (1977), criou o Subcomitê de Matemáticas e Ciências, integrado por representantes da Espanha, Estados Unidos, União Soviética, Alemanha Ocidental e Inglaterra, com a finalidade principal de promover, em diferentes países, estudos e experiências de âmbito nacional e regional, visando a unificação dos diversos códigos em uso. Os países de língua castelhana, finalmente, chegaram a um acordo para a unificação da simbologia matemática, em 1987, na cidade de Montevidéu, durante uma reunião de representantes de imprensas braille dos países que falam o referido idioma. A essa reunião compareceram dois representantes brasileiros, como observadores. Especialistas no Sistema Braille do Brasil, especialmente ligados ao Instituto Benjamin Constant e à, hoje, Fundação Dorina Nowill para Cegos, a partir da década de 70, passaram a se preocupar com as vantagens que adviriam da unificação dos códigos científicos, uma vez que a Tabela Taylor, adotada no Brasil desde a década de 40, já não vinha atendendo satisfatoriamente à transcrição em braille, sobretudo, após a introdução dos símbolos da Matemática Moderna, principalmente no que se referia à Matemática em nível superior. O Brasil participou inicialmente e, posteriormente, acompanhou os estudos desenvolvidos pelo comitê de especialistas da ONCE, que resultaram no Código Matemático Unificado (CMU). Em 1991 foi criada a Comissão para Estudo e Atualização do Sistema Braille em Uso no Brasil, com a participação de especialistas <15> representantes do Instituto Benjamin Constant, da Fundação Dorina Nowill para Cegos, do Conselho Brasileiro para o Bem-Estar dos Cegos, da Associação Brasileira de Educadores de Deficientes Visuais e da Federação Brasileira de Entidades de Cegos, com o apoio da União Brasileira de Cegos e o patrocínio do Fundo de Cooperação Econômica para Ibero-América -- ONCE-ULAC. Os trabalhos dessa comissão foram concluídos em 18 de maio de 1994, constando das principais resoluções a de se adotar no Brasil o Código Matemático Unificado para a Língua Castelhana, com as necessárias adaptações à realidade brasileira. Por orientação da União Brasileira de Cegos (UBC), a Comissão Brasileira de Braille, organismo técnico a ela subordinado, estabeleceu estratégias para a implantação, em todo o território nacional, da nova simbologia matemática unificada. A edição do presente trabalho representa uma das ações mais concretas neste sentido. O *Código Matemático Unificado para a Língua Portuguesa* oferece excelentes opções para a representação de símbolos do sistema comum, até agora sem representação adequada no Sistema Braille, como os casos de índices e marcas. Alternativa digna de destaque é a aplicação dos parênteses auxiliares, recurso de representação em braille nos casos em que a escrita linear dificulta o entendimento das expressões matemáticas. O CMU possui, ainda, símbolos disponíveis para novas representações em braille.

Possíveis dúvidas que venham a surgir com a aplicação do presente trabalho poderão ser dirimidas junto à Comissão Brasileira do Braille. Comissão Brasileira do Braille -- CBB :::::::::::::::::::::::: <17>

OBSERVAÇÕES O uso e aplicação do presente Código Matemático não oferece maiores dificuldades ao usuário, seja este pessoa cega ou vidente. Sua concretização e edição, longe de constituir um obstáculo, se transforma num meio que unificará para todos (professores, transcritores, usuários...) o caminho da utilização de uma linguagem matemática comum. Para facilitar ainda mais esta tarefa, nos permitimos fazer as seguintes recomendações: 1. As expressões matemáticas se escrevem, geralmente, sem celas vazias intermediárias. Não obstante, em alguns casos, por razões de clareza, se faz necessário deixar espaços em branco antes e depois de alguns símbolos que expressamente se indicam em tabelas correspondentes (exemplo: “portanto”, ver item 6.3). Do mesmo modo esta exceção se aplica em alguns casos a outros sinais como por exemplo a igualdade no caso de tabelas ou gráficos. (ver item 7.5.1). 2. Em textos de ciências exatas e naturais, recomenda-se não utilizar estenografia braille, no sentido de se evitarem possíveis confusões na leitura. 3. A transcrição de uma fórmula inserida em um texto comum deverá obedecer à seguinte norma: deixar duas celas em branco antes da fórmula e, do mesmo modo, duas celas vazias depois dela. 4. Objetivando facilitar a leitura e a compreensão do texto, expressões e sentenças curtas, quando não couberem num final de linha, <18> deverão ser transferidas, integralmente, para a linha seguinte, ainda que se desprezem espaços na linha superior. Já as expressões e sentenças longas, quando não couberem numa linha, serão cortadas, preferentemente, num sinal de relação (igual a, diferente de, maior que, etc.) ou num sinal de operação (mais, menos, vezes, dividido por), procedendo-se como em tinta, isto é, escrevendo o sinal no fim da linha e repetindo-o no início da linha seguinte. O início de uma linha seguinte ao corte de uma expressão ou sentença deve ficar duas celas depois ou duas celas antes da cela que corresponde ao início da linha superior, na qual se efetuou o corte. Nas sucessões, progressões, nos conjuntos representados elemento por elemento, etc., o corte se fará depois do sinal de pontuação (vírgula, ponto, dois-pontos) posterior a um termo, sem repetição deste sinal na linha seguinte. O corte de uma expressão entre parênteses deve ser evitado, ainda que se abandonem celas em branco num fim de linha. Quando isto for inevitável, procede-se como referido anteriormente, isto é, a expressão se cortará num sinal de operação, repetido, necessariamente, na linha seguinte. Quando estes processos não forem possíveis, empregar-se-á o sinal ~ (ponto 5), que não se repetirá na linha seguinte. 5. Recomenda-se (principalmente aos editores) que nos textos de matemática e de ciências exatas, em geral, se incluam tabelas com os sinais utilizados e seus respectivos significados, além da representação gráfica (como é em tinta) da signografia e dos gráficos. 6. Atenção especial deve ser dada à aplicação dos parênteses auxiliares, que não têm correspondentes no sistema comum, pois se constituem em um recurso particular do braille. Suas diversas aplicações devem ser bem esclarecidas junto a professores, transcritores, revisores e usuários do Sistema Braille. :::::::::::::::::::::::: <19>

Capítulo 1 -- Prefixos alfabéticos e sinais unificadores 1.1 Prefixos alfabéticos As letras dos alfabetos latino, grego e gótico-alemão também são usadas em matemática. No Sistema Braille são empregados *prefixos* que distinguem essas letras dos algarismos, evitando-se possíveis confusões, como se verá a seguir: Exemplos de Prefixos: alfabetos minúsculas maiúsculas ::::::::: :::::::::: :::::::::: latino ~z Z grego ^z ¬z gótico ou ýz $z outras variantes tipográ- ficas

Para letras de outros alfabetos, com significado definido, por convenção, destinam-se símbolos braille determinados. Na escrita simbólica, todas as letras devem ser representadas com os prefixos correspondentes, com exceção das letras latinas minúsculas, que só serão precedidas do ponto 5 nos seguintes casos: <20> a) As letras da primeira linha do alfabeto braille (a...j), quando precedidas de um número, pois a letra poderá ser confundida com um algarismo. Exemplo: #ex=#dj~b (cinco x igual a quarenta b) b) As letras marcadas com pontos sobre elas (ponto 4 em braille) ou letras cruzadas (pontos 45 em braille). Neste caso, as letras latinas serão precedidas de prefixos evitando-se confundi-las com letras gregas.

Exemplos: ^~p "letra p latina minúscula ponteada”. Sem o ponto 5 confundir- -se-ia com ^p (pi minús- cula). ^p “pi minúscula (grega)” ¬~p “letra p latina minús- cula cruzada”. Sem o ponto 5, confundir-se-ia com ¬p (pi maiúscula). ¬p “pi maiúscula (grega)”

1.2 Representação braille do alfabeto grego <21> minúscula maiúscula nome --------- --------- --------- ^a ¬a alfa ^b ¬b beta ^g ¬g gama ^d ¬d delta ^e ¬e épsilon ^z ¬z zeta ^û ¬û eta

minúscula maiúscula nome --------- --------- --------- ^ô ¬ô teta ^i ¬i iota ^k ¬k kapa ^l ¬l lambda ^m ¬m mu ^n ¬n nu ^x ¬x xi ^o ¬o omikron

minúscula maiúscula nome --------- --------- --------- ^p ¬p pi ^r ¬r rô ^s ¬s sigma ^t ¬t tau <22> ^u ¬u úpsilon ^f ¬f fi ^ç ¬ç chi ^y ¬y psi ^w ¬w ômega

1.3 Sinais unificadores e parênteses auxiliares ----- ------- ----------- ------ sinal sinal descrição signi- em em ficado tinta braille ----- ------- ----------- ------ ê ã (126 345) parên- teses á ú ê#abcef col- #bcdefã chetes ~l _, ê#e#abc chaves #def#bã ~ã ê, ê#e#cde chaves #abf#bã espe- ciais ~k {, ê#e#ac parên- #df#bã teses angu- lares

----- ------- ----------- ------ sinal sinal descrição signi- em em ficado tinta braille ----- ------- ----------- ------ _ _ ê#def #defã barras (se- guidas de pe- lo me- nos meia cela em bran- co) _l _l ê#def#abc barras #def#abcã duplas ? * (26 35) parên- teses auxi- liares <23>

Os parênteses auxiliares não têm correspondentes no sistema comum, em tinta. Constituem um recurso pró- prio do braille para deli- mitar certas expressões que, na escrita comum, se apresentam unificadas de várias maneiras, tais como: por distintos tamanhos, diferenças de nível em relação à linha básica, linha horizontal nas frações, radicandos, etc. Quando as expressões já estiverem unificadas por parênteses, colchetes, cha- ves, etc., não se aplicarão os parênteses auxiliares. (ver item 5.2 e 5.4) Os parênteses auxiliares podem ser repetidos indefi- nidamente, sem perigo de equívocos, já que o fecha- mento se produz em ordem inversa à da abertura. (ver item 5.1) <25> ::::::::::::::::::::::::

Capítulo 2 -- Índices e marcas 2.1 Posições dos índices Os índices são letras, números, marcas ou expressões escritos em tamanhos pequenos e acrescentados a um símbolo principal em uma ou mais das seis possíveis posições, assim dispostas: símbolo principal -- z #b #a #c #d #f #e Das seis posições acima, as mais comuns no ensino fundamental são a 3 e a 6 (posteriores ao símbolo principal).

2.2 Índices inferiores e índices superiores Na representação em braille, geralmente, os índices são precedidos de um símbolo (não existente no sistema comum), o qual indica sua exata posição; seja qual for esta posição, os índices sempre serão colocados depois da letra principal, tal como aparece nos seguintes exemplos: zír índice inferior, “*z* índice in- ferior *r*” zâr índice superior, “*z* índice su- perior *r*” zýír índice inferior à esquerda <26> z^âr índice superior à esquerda

zíír subscrito zââr sobrescrito Se o índice estiver formado por vários termos ou uma expressão matemática, estes ficarão entre parênteses auxiliares braille. Exemplos: zí?n-#a* z índice inferior n-1 zâ?i,j* z índice superior i,j zí?ií0* z índice inferior ií0

zí?iír-1* z índice inferior iír-1 zí?ií?r-1** z se- guido do ín- dice infe- rior i sub- -índice infe- rior r-1 z^â?n-1* z índice superior à esquer- da n-1 Analogamente, para qualquer posição. <27>

2.3 Marcas 2.3.1 Marcas à direita em índice superior Marcas na posição de índice superior (posição 3). As marcas aqui apresentadas dispensam, particularmente, o símbolo braille â (16) indicativo de posição. z+. z com um sinal po- sitivo z-' z com um sinal ne- gativo z}' z com um círculo (esta notação não se aplica para graus, ver item 8.2) zÿ' z com asterisco

Quando alguma destas marcas aparecer mais de uma vez, repetir-se-á a parte característica da marca, seguida do ponto ' (3). Exemplos: z+++' z com três sinais positivos. z}}' z com dois círculos. z--' z com dois sinais negativos. <28> Quando uma letra estiver afetada por quatro ou mais marcas iguais, representa- -se, em tinta, com o número de marcas seguido da marca em questão. Em braille será necessário o indicador de posição seguido do número e da marca correspondentes. Exemplo: zâ4+' z com quatro si- nais positivos (em posição de índice superior)

Tratamento diferente recebem as marcas “uma linha”, “duas linhas” e “três linhas” devido a seu freqüente uso. Em tinta, são representadas por uma, duas ou três vírgulas, respectivamente em posição de índice su- perior. Na transcrição braille não se usa o ponto ' (3) e se repre- sentam da seguinte ma- neira: zü “z linha” züü "z duas linhas” züüü “z três linhas” Quando qualquer das marcas anteriores aparecer em outra posição, será necessário o uso do indicador braille de posição:

zí+. z com sinal po- sitivo em índice inferior à di- reita z^â4-' z com quatro sinais negati- vos em índice superior à es- querda zýíüü z duas linhas em índice in- ferior à es- querda <29>

2.3.2 Marcas em sobrescrito As marcas colocadas diretamente em cima de um símbolo se transcrevem em braille precedendo a transcrição do referido símbolo. No caso particular das letras marcadas com um, dois ou três pontos em sobres- crito, é necessário utilizar o prefixo alfabético corres- pondente, inclusive para as letras latinas minúsculas, como se vê nos seguintes exemplos: ^Z z maiúsculo com um ponto. ^^^z letra grega zeta minúscula com dois pontos. ^^^~z z minúsculo com três pontos. As letras marcadas com um, dois ou três pontos, como nos casos anteriores, se aplicam freqüentemente em Física para indicar a primeira, segunda e terceira derivada, respectivamente. ^cz z sobrelinhado. ^c^cz z com duas linhas horizontais. ý-z z sublinhado. ~?z linha ondulada sobre z. Quando alguma destas marcas em sobrescrito afetar mais de uma letra ou uma expressão matemá- tica de dois ou mais ter- mos, serão usados parênte- ses auxiliares. <30>

Exemplos: ^c?{a{b* linha sobre A e B. ^c?züü* z duas linhas sobrelinhado. Nota: Outras marcas aparecem no item dedicado à Geometria. (ver item 8.1.) 2.4 Símbolos com vários índices 2.4.1 Índices inferiores e índices superiores simultâneos No caso de um símbolo ou letra estar afetado simultaneamente por um índice inferior e um índice superior, transcrever-se-á primeiro o índice inferior e depois o índice superior. Os expoentes (ver item sobre potências) recebem neste caso o mesmo tratamento que os índices superiores. Exemplos: zí#dâ#c z índice inferior quatro ao cubo. zí?i,j*â#b z índice in- ferior i,j ao quadrado. 2.4.2 Caso geral Quando um símbolo estiver afetado por mais de um índice e/ou marca, o símbolo, os índices e as marcas transcrever-se-ão, em geral, de acordo com a seguinte ordem: <31> 1ª. Marcas em sobrescrito. 2ª. Símbolo base ou portador. 3ª. Índices literais e numéricos à esquerda. 4ª. Marcas à esquerda. 5ª. Marcas à direita. 6ª. Índices inferiores à direita.

7ª. Índices superiores à direita (ou expoente). Exemplos: züí#j z linha índice inferior 0. züâ#c z linha índice superior 3 ou z linha ao cubo. ^c?zí#j* z índice inferior 0 so- brelinhado. ^cêzüí#jãâ#b z linha ín- dice infe- rior 0 so- brelinhado ao quadrado. Se nesta expressão não figurassem os parênteses, para sua transcrição em braille seriam utilizados parênteses auxiliares: ^c?züí#j*â#b <32> 2.5 Índices deslocados No cálculo de tensão, os tensores costumam ser representados por letras em negrito e índices inferiores e superiores deslocados alternativamente para a direita. A transcrição em braille dos índices deslocados far-se-á precedendo o indicador de posição correspondente pelo sinal $ (pontos 56) para os índices inferiores e ¬ (pontos 45) para os índices superiores. Desta última norma, se exclui o primeiro índice. Exemplos: ýtír¬âs “t índice infe- rior r índice superior s" (“s” deslocado à direita) ýtâr$ís “t índice supe- rior r índice inferior s" (“s” deslocado à direita)

2.6 Índices numéricos abreviados Em notações de matrizes e determinantes, em gráficos e fórmulas químicas, os índices inferiores numéricos (à direita) podem ser representados de forma abreviada, utilizando os elementos braille da quinta série, sem indicador de posição nem sinais de número. Exemplos: H;O fórmula da água. H;{s{oÿ fórmula do ácido sulfú- rico. <33> ::::::::::::::::::::::::

Capítulo 3 -- Números 3.1 Caracteres árabes ou algarismos Em braille serão repre- sentados pelas dez primei- ras letras do alfabeto pre- cedidas do elemento # (pon- tos 3456) que funciona como prefixo para todos os algarismos do número. ----- ------ ------ núme- repre- nome ros senta- ção ----- ------ ------ #a um #b dois #c três

----- ------ ------ núme- repre- nome ros senta- ção ----- ------ ------ #d quatro #e cinco #f seis #g sete #h oito #i nove #j zero <34>

Quando um número tem mais de três algarismos, costuma ser separado em períodos de três, começando pelas unidades, utilizando para isto o ponto ' (3). Exemplos: 1.720 3.802.197 3.2 Números decimais e fracionários 3.2.1 Números decimais A vírgula decimal será representada por , (ponto 2) e naqueles países onde em vez de vírgula decimal se usar ponto decimal, será representado igualmente pe- lo ponto , (2). Exemplo: 3,2 três inteiros, dois décimos

As expressões decimais periódicas (dízimas periódicas) se transcrevem, colocando o período entre parênteses auxiliares ou comuns. Exemplos: #j,?d* #b,êecã #c,b?ed* #j,ea?bg* <35> #j,eaêbgã #c,adaf... Exemplo de transcrição de expressões decimais não periódicas (número irracional).

3.2.2 Números fracionários O numerador, precedido de sinal de número, escrever-se-á na parte inferior da cela braille e o denominador na parte superior, este último sem sinal de número. Exemplos: #:d três quartos #b#:d dois inteiros, três quartos

3.3 Números representados em distintas bases Exemplos: #ajaí#b número na base 2 cujos algarismos são 1, 0 e 1 #aeí#f número na base 6 cujos algarismos são 1 e 5 Nos sistemas de numeração de base su- perior a 10 tornar- -se-á necessário in- troduzir novos símbo- los para a represen- tação de “algaris- mos”; para isto se utilizam geralmente letras; em braille, cada uma destas le- tras sempre será precedida por um pre- fixo alfabético cor- respondente que não in- terromperá o valor do sinal de número. <36>

Exemplo: #a{bdí#ac número em base 13 cujos algarismos são 1, B e 4. 3.4 Variantes tipo- gráficas dos números Quando nos números existirem variantes ti- pográficas ou de cor, com caráter signifi- cativo, estes serão transcritos precedendo o sinal de número pelo prefixo $ (pontos 56) ou outros, se forem ne- cessários. Exemplo: $#bd variante gráfica de 24

3.5 Representação dos principais conjuntos numéricos _n Números naturais _z Números inteiros _q Números racionais _r Números reais _c Números complexos 3.6 Ordinais São formados com os sinais da quinta série precedidos do sinal de número e seguidos das letras “a” ou “o” se- gundo seu gênero. <37> Exemplos: 1º primeiro 2º segundo 10ª décima

3.7 Números romanos Os algarismos romanos constituídos por uma letra serão antecedidos por { (sinal de maiúscula). Já aqueles constituídos por duas ou mais letras, serão antecedidos por {{ (dois sinais de maiúscula). O traço horizontal, que multiplica por mil a parte coberta do número e o duplo traço, que multiplica por um milhão a parte coberta do número, serão transcritos respectivamente por : (25) e :: ê#be#beã depois da última letra coberta. Exemplo: {{vi::xl:dxxi 6.040.521 3.8 Exemplos de transcrições de medidas 8 m oito metros 4 dm quatro decímetros 12 cm doze centímetros <38> 7 mm sete milímetros 9 km nove quilômetros 1 kmâ#b um quilômetro quadrado 5 mâ#b cinco metros quadrados Observe nos últimos dois exemplos o uso do sinal â (16) para indicar o expoente (ver Potências, item 5.2). 10 l dez litros 3 dl três decilitros 1 cl um centilitro 2 mâ3 dois metros cúbicos 3 kg três quilogramas 11 g onze gramas 17° dezessete graus (angulares ou de temperatura) <39> 2° 4ü dois graus, quatro minutos (angulares) 2 h duas horas 3 h 9 min três horas, nove minutos 2 h 30 duas horas, 30 minutos 15:45 h (forma não oficial) quinze horas, quarenta e cinco minutos <41> ::::::::::::::::::::::::

Capítulo 4 -- Operações aritméticas fundamentais e relações numéricas elementares 4.1 Sinais de operações aritméticas elementares + (235) sinal de adição: “mais”. Positivo. ex.: 6+2 "6 mais 2". - (36) sinal de subtração: “me- nos”. Negativo. ex.: 6-2 "6 menos 2". !:- ê#bce#be#cfã “mais ou menos”. ex.: 6!:-2 "6 mais ou menos 2".

" (236) “multipli- cado por”. ex.: 6"2 "6 por 2". ' (3) “multiplicado por”. ex.: 6'2 "6 por 2" 7(6-2) "7" multiplicado por "6-2" sem sinal de operação. <42> ÿ ê#befã sinal de divisão: “dividido por”; igual para todas as formas de representar a di- visão ex.: 6ÿ2 "6 divi- dido por 2".

4.2 Relações numéricas elementares = (2356) sinal de igualdade: “é igual a”. ex.: 6+2=8 "6 mais 2 igual a 8". ^= ê#d#bcefã “apro- ximadamente igual a”. ex.: ^p^=3,1416 "pi é aproximada- mente igual a 3,1416". == ê#bcef#bcefã “é congruente com”. ex.: 6==11(5) "6 é congruente com 11 módulo 5". <43>

$; ê#ef#bcã “assim como”. ex.: 6ÿ3$;8ÿ4 "6 está para 3 assim como 8 es- tá para 4". õ (246) “menor que”. õõ ê#bdf#bdfã “muito menor que”. õ= ê#bdf#bcefã “menor ou igual a”, para todas as variantes em tinta que te- nham este mesmo significado.

> (135) “maior que”. Caso na expressão que contenha o sinal > (135) apareça a letra "o" minúscula, esta será precedida do ponto 5. >> ê#ace#aceã “muito maior que”. >= ê#ace#bcefã “maior ou igual a”, repre- sentação de todas as variantes que têm este mesmo significado. <44>

4.3 Relações negativas O sinal que representa a relação cuja validade se quer negar será precedido por ¬ (45). ¬= ê#de#bcefã é diferente de ¬> ê#de#aceã não maior que ¬< ê#de#bdfã não menor que 4.4 Outras representa- ções aritméticas ^#e ê#d#cdef#aeã “múltiplo de 5”. ex.: 10=^5 "10 é múltiplo de 5"

^~n ê#d#e#acdeã “múltiplo de n” (ver item 1.1) 4_ 8 “4 divide 8” _ÿ “divisor primo”. ex.: 2_ÿ8 “2 é divisor primo de 8” {- ê#df#cfã “uma das re- presentações do valor absoluto da diferença”. ex.: 3{-5=_ 3-5_ =2 <45> % ê#def#cefã “por cento”. ex.: 5% “cinco por cento”. ‰ ê#def#cef#cefã “por mil”. ex.: 7‰ “sete por mil”. <47> ::::::::::::::::::::::::

Capítulo 5 -- Frações, potências e raízes 5.1 Frações ÿ (256) ou ~ÿ ê#e#befã traço de fração. Exemplos: aÿc ou a~ÿc fração de numerador "a" e denominador "c". a+bÿc ou a+b~ÿc "a" mais a fração “b sobre c”. aÿc"x ou aÿcx; a~ÿc"x ou a~ÿcx fração de numerador "a" e denominador “c” multiplicada por "x”. <48> aÿ?c.x* ou a~ÿ?c.x* fração de numerador "a" e denomi- nador "c" por "x". (Note a necessidade do uso dos parênteses auxiliares para deter- minar o de- nominador). Algo análo- go ocorre nos seguin- tes exemplos:

?a+b*ÿc ou ?a+b*~ÿc fração de numerador “a mais b” e deno- minador "c". ?a+bÿc*ÿ?d+e* ou ?a+b~ÿc*~ÿ?d+e* fração cujo numerador é “a mais b sobre c” e cujo denominador é “d mais e”. <49> ??a+b*ÿ?c+ +d**ÿ?x+y* ou ??a+b*ÿ?c+ +d**~ÿ?x+y* fração cu- jo numera- dor é “a mais b di- vidido por c mais d” e cujo de- nominador é “x mais y”. 5.2 Potências Considerando que, do ponto de vista gráfico, o expoente de uma potên- cia constitui um caso particular dos índices superiores, representar- -se-á o expoente prece- dido pelo indicador braille â (16). (ver item 2.2) Exemplos: xâ2 "x" ao quadrado xân "x" elevado a "n" xâ-1 "x ele- vado a -1" xâ?a+b* "x elevado a a+b" xâ-êa+bã "x elevado a -êa+bã"

Note, no último exemplo, que a pre- sença dos parênteses comuns torna desne- cessário o uso dos parênteses auxili- ares. <50> 5.3 Raízes à û sinal de raiz. O índice de raiz se coloca entre os elementos braille que compõem o sinal *à û*, seguido do radicando. No caso da raiz quadrada, se omite o índice (2) por analogia com a escrita em tinta e se suprime o espaço entre os elementos braille do sinal de raiz.

Exemplos: à#cûx raiz cúbica de "x". àûx raiz quadrada de "x". ànû?a+b* raiz "n-ésima" de "a+b". àn-1û?m-1* raiz de índice "n-1" de "m-1". 5.4 Exemplos de transcrição de expressões algébricas #c~a “3 por a”. #c~a+#ex “3 por a mais 5 por x”. #gxâ#c-#bxâ#b+x+#a “7x ao cubo menos 2x ao quadrado mais x mais 1”. <51>

àû?xâ#b+yâ#b* “raiz quadrada de x ao quadrado mais y ao quadrado”. à#cû?#c~aâ#b-a*+9 “raiz cúbica de três por a ao quadrado menos a mais nove”. ?xâ#b+#a*ÿ?xâ#b-#a* “x ao quadrado mais 1 dividido por x ao quadrado menos 1”. xâàû?a+5* “x elevado à raiz quadrada de a mais 5”. <53> ::::::::::::::::::::::::

Capítulo 6 -- Teoria de conjuntos e lógica 6.1 Representações elementares ~l _, chaves de conjunto. ex.: A=~lx, y, z_, “A é igual ao conjunto cujos elementos são x, y, z” ý, ê#f#bã “tal que” ex.: A=~lxý, ý,x<#f_, “A é igual ao conjunto de x tal que x é menor que 6”

_j conjunto va- zio. ex.: _j=~l_, <54> _u conjunto ou classe “universal”. $cA complemen- tar de A. $cMûN comple- mentar de N em M. O complementar de um conjunto A costuma ser representado também por: ^cA “A sobre- linhado” (ver item 2.3.2) Aü “A linha”

_ã União ex.: A_ãB “A união B” _û Intersecção ex.: A_ûB “A inter- secção B” <55> éã representa um sinal de “união” de maior tama- nho. ex.: éãiê,IûAíi “união para i pertencen- te a I dos conjuntos Aíi”.

éû representa um sinal de “intersec- ção” de maior tama- nho; ex.: éûiê,IûAíi “intersecção para i per- tencente a I dos con- juntos Aíi”. ~. ê#e#cã diferença de conjuntos. ex.: A~.B "A menos B” $ÿ ê#ef#befã diferença simétrica ou soma boole- ana ex.: A$ÿB “A diferença simétrica B”

{" produto car- tesiano ex.: A{"B “A produto cartesiano B” <56> ê, pertence a ex.: xê,A “x pertence a A” ~ã contém a ex.: A~ãx “A possui como elemen- to x” ê. está contido em ex.: Aê.B “A está contido em B” ýã contém ex.: AýãB "A contém B”

¨ ê; está conti- do em (sen- tido amplo). <57> $ã contém a (sentido amplo).

¬ê, “não per- tence a” ¬$ã “não con- tém a” Analogamente, para as relações negativas res- tantes. ~?. ê#e#bf#cã “equivale a” este sinal é usado co- mumente pa- ra indicar uma relação de equiva- lência.

<58> ý, ê#f#bã barra oblí- qua. Utili- za-se para indicar o conjunto quociente. ex.: A/~?. conjunto quociente definido pe- la relação ~?. ê#e#bf#cã #k{a cardinal de A #ü infinito ýü alef “car- dinais transfini- tos” (1ª letra do al- fabeto he- breu)

ÿ:! :? ê#bef _ #be _ "coorde- #bceã _ nável _ com" ~?; _ (ver ê#e _ item #bf _ 7.6) #bcã -ã 6.2 Lógica {. quantifica- dor univer- sal: “para todo” {? quantifica- dor existen- cial: “exis- te pelo me- nos um ele- mento”

{; quantifica- dor unitá- rio: “existe um único elemento” <59> ¬{. “não para todo” ¬{? “não exis- te” _s proposição verdadeira (costuma-se usar também a letra “V”) _ê proposição falsa (cos- tuma-se usar também a le- tra “F”)

_: tautologia: proposição universal- mente válida $, ê#ef#bã conjunção: “e” $. ê#ef#cã disjunção: “ou” _? “conjunção” (sinal de maior tama- nho) ex.: _?xûê#j+x=xã “todos os x verificam que 0+x=x” O sinal _? representa um sinal de “conjunção” de maior tamanho.

_i “disjunção” (sinal de maior tama- nho) <60> cû _ _ _ ý. ê#f#cã _ negação _ lógica: _ "não" _ _ _ -ã :> implica: “se... en- tão” <: “é implicado por” <:> dupla im- plicação: “se e só se”

6.3 Outras notações ýâ ê#j#f#af#jã “portanto” (precedido e seguido de cela braille em branco) ^í ê#j#d#cd#jã “posto que” (precedido e seguido de cela braille em branco) ú; “segundo”, “de acordo com” (pre- cedido e seguido de cela braille em branco)

$} ê#ef#cefã disjunção excludente =; ê#bcef#bcã relação di- reta $= ê#ef#bcefã relação in- versa $=; ê#ef#bcef#bcã relação re- cíproca <61> ~< “anterior a” $< “anterior ou simultâneo a” >, “posterior a” >; “posterior ou simultâ- neo a”

6.4 Exemplos de notação de teoria de conjuntos ^c?A_ãB*=^cA_û^cB O complemento de A_ãB é igual à intersecção do complemento de A e o complemento de B. _:êA$.ý.Aã Tautologia: A ou não A. Aê;B<:>{.x,xê,A:>xê,B A contido em B se e somente se para todo x, xê,A implica x pertence a B. <62> êA~.Bã_ûêB~.Aã=_j A intersecção de A\B com B\A é igual ao conjunto vazio. {?xê,_zý,x¬ê,_n Existe x pertencente ao conjunto dos números inteiros tal que x não pertence ao conjunto dos números naturais. <63> ::::::::::::::::::::::::

Capítulo 7 -- Aplica- ções (funções) 7.1 Notações elementares f{{a::,{b aplicação f de A em B. O sinal { (46), que representa neste caso os dois pontos, de- ve ser se- guido de, pelo menos, meia cela braille em branco {a~::,{b aplicação bijetora de A em B

{a:f:,{b aplicação f de A em B. (Em tinta, f apare- ce em cima da flecha. Em braille se co- loca entre os dois elementos : (25) da flecha) {b:fâ-#a:,{a aplicação inversa de f: “f elevado a -1 de B em A”. {b:fó:,{a (a expres- são *fó* re- presenta uma forma abre- viada de es- crever fâ-#a muito útil quando se trabalha com funções) <64>

fêxã fun- ção f de x x::,fêxã o elemento "x" se aplica no elemento "fêxã" fêx,yã função "f" de "x" e "y" êxí#a,xí2ã par orde- nado áa,bú intervalo fechado de extremos a,b

cû in- _ ter- úa,bá _ valo _ aber- _ to de _ ex- êa,bã _ tre- _ mos -ã a,b cû in- _ ter- _ valo _ fe- áa,bá _ cha- _ do _ pela _ es- _ quer- _ da e áa,bã _ aber- _ to _ pela _ di- -ã reita <65>

cû inter- _ valo _ aberto úa,bú _ pela _ es- _ querda _ e fe- êa,bú _ chado _ pela _ di- -ã reita ý; ê#f#bcã composi- ção de funções ex.: fý;gêxã= =fêgêxãã == ê#bcef #bcefã “idêntico a” ex.: f==#j “f é idêntico a zero”

7.2 Limites lim' limite x:,c x ten- de a c lim'x:,cû limite quando x tende a c <66> ^clim' li- mite supe- rior ý-lim' li- mite infe- rior lim'x_a#jû limite quando x tende crescendo a 0

lim'x_'#jû limite quando x tende de- crescendo a 0 7.3 Derivadas dÿ?dx* de- rivada em relação a x ?df*ÿ?dx* derivada de f em relação a x <67> dânÿ?dxân* n-ésima derivada em relação a x

?dânf*ÿ?dxân* derivada n- -ésima de f em relação a x n vezes _d símbolo de derivada parcial _dÿ?_dx* derivada parcial em relação a x ?_df*ÿ?_dx* derivada parcial de f em rela- ção a x _dânÿ?_dxân* n-ésima de- rivada par- cial em re- lação a x <68>

?_dânf*ÿ ÿ?_dxân* derivada parcial n- -ésima de f em rela- ção a x n vezes _dâ#bÿ?_dx_dy* derivada parcial segunda em relação a x e y ?_dâ#b~f*ÿ ÿ?_dx_dy* derivada parcial segunda de f em relação a x e y

_dâ?m+n*ÿ ÿ?_dxâm_dyân* derivada par- cial de ordem m+n em rela- ção a x m ve- zes e em re- lação a y n vezes ?_dâ?m+n*f*ÿ ÿ?_dxâm_dyân* derivada par- cial de ordem m+n de f em relação a x m vezes e em relação a y n vezes <69> Nota: Existem outras notações muito usadas para as funções deri- vadas, as quais não se transcrevem por ajustarem-se às nor- mas gerais.

^ï operador nabla _" operador laplaciano 7.4 Integrais çû integral indefinida ççû integral dupla çççû integral tripla ça:bû inte- gral defi- nida entre a e b

^cça:bû inte- gral supe- rior ý-ça:bû inte- gral infe- rior ç}{cû inte- gral curvi- línea ao lon- go da curva C <70> ~; ê#e#bcã produto de convolução

7.5 Notações sobre funções determinadas 7.5.1 Sucessões, progressões e matrizes cû su- _ ces- ~ãsínê, _ são _ de _ ter- _ mo êsínã _ ge- _ ral -ã Sín lim'n:,#üûsín limite de sín quando n tende a infinito {: progres- são arit- mética

{:k pro- gressão geométrica ¬si=#a:nû somatório variando de i igual a 1 até n <71> ex.: ¬si=#a:nûsíi somatório variando de i=1 até n de síi ¬pi=#a:nû produto variando de i=1 até n ex.: ¬pi=#a:nûsíi produto variando de i=1 até n de síi

n¬. fatorial de n {ên:rã coeficiente binômico “n sobre r” <72> Matrizes As matrizes e os determinantes serão representados respeitando a posição que os elementos têm na escrita visual. {pí?m,n* = = _lpí?#a,#a* ... pí?#a,n*_l _lpí?#b,#a* ... pí?#b,n*_l _l......................_l _lpí?m,#a* .... pí?m,n* _l Esta matriz foi transcrita em braille com a representação geral. Contudo, por razões de espaço e comodidade, adotamos a seguinte representação abreviada: (ver item 2.6): {pí?m,n* = _lp,, p,; ... p,n_l _lp;, p;; ... p;n_l _l..............._l _lpm, pm; ... pmn_l

7.5.2 Funções logarítmicas log.bûx logaritmo na base b de x. <73> log.x logaritmo de x. ln.x û logaritmo natural _ ou neperiano lx ã de x antilog'x antilogaritmo de x. colog'x cologaritmo de x. Características negativas dos logaritmos decimais Utilizar-se-á a terceira série do alfabeto braille precedida do sinal de número. Exemplos: #u,cde log decimal de característica -1 e mantissa 345.

#vá,ibh log decimal de característica -28 e mantissa 928. <74> 7.5.3 Funções trigonométricas e suas inversas sen' seno cos' cosseno tg' tangente cotg' cotangente sec' secante cossec' cossecante arc'sen' arco seno arc'cos' arco cosseno arc'tg' arco tangente arc'cotg' arco cotangente arc'sec' arco secante arc'cossec' arco cossecante 7.5.4 Funções hiperbólicas e suas inversas sh' seno hiperbólico ch' cosseno hiperbólico <75> th' tangente hiperbólica cth' cotangente hiperbólica sech' secante hiperbólica cossech' cossecante hiperbólica arg'sh' argumento do seno hiperbólico arg'ch' argumento do cosseno hiperbólico arg'th' argumento da tangente hiperbólica arg'cth' argumento da cotangente hiperbólica arg'sech' argumento da secante hiperbólica arg'cossech' argumento da cossecante hiperbólica 7.6 Símbolos usuais com significados diversos Em diferentes áreas da Matemática são usados certos símbolos para representar algumas relações. Cada um destes símbolos pode, segundo os autores, ter significados diversos. Uma relação determinada pode também ser representada de diferentes maneiras. A lista seguinte possui símbolos comumente utilizados para re-

presentar relações tais como: “equivalente a”, “coor- denável com”, “aproxi- madamente igual a”, “isomorfo a”, “home- omorfo a”, “congruente com” (em Geometria), “assintoticamente igual a”, etc. <76> ~?. ê#e#bf#cã ^?. ê#d#bf#cã ý?. ê#f#bf#cã {?. ê#df#bf#cã

¨ ~?; ê#e#bf#bcã $?. ê#ef#bf#cã ~?= ê#e#bf#bcefã =?. ê#bcef#bf#cã ~ü, ê#e#abef#bã ~ü; ê#e#abef#bcã $ü, ê#ef#abef#bã

O critério com o qual foi elaborada a tabela anterior pretende sugerir ao usuário deste código a introdução de símbolos similares que não aparecem nele. 7.7 Exemplos ilustrativos fêxã=sen.xÿ?sen.â#bx+#a* <77> log.??r+#a*ÿ?r-1** log.ê?r+#a*ÿ?r-#a*ã ç#a:#dûxâ#b~dx= =á#,cxâ#cú#a:#dû=21 ¬s#a<=i<=#d;i¬=#cûi=#a+ +#b+#d=7 <79> ::::::::::::::::::::::::

Capítulo 8 -- Geometria 8.1 Notações elementares, vetores e figuras ~:,r reta r :,z vetor po- sitivo "z". O elemento :, (pontos #be#b) usar- -se-á em todos os casos em que apareça uma seta orientada à direita so- bre a letra. Além disso, em Geometria utilizar- -se-á para representar as semi-retas. ex.: :,?{a{b* Semi-re- ta de origem A que contém o ponto B. Nota-se, neste últi- mo caso, a necessida- de do uso dos parên-

teses auxiliares para indicar que a seta abrange ambas as le- tras. (ver Parênteses auxili- ares, item 1.3) ~:z vetor oposto "z". O ele- mento ~: (pontos #e#be) será usado em to- dos os casos em que haja uma seta orientada à esquerda sobre a letra. <80> á:,{a{bú ou cû Vetor _ livre á:,?{a{b*ú -ã A{b ýû^a vetor axial positivo alfa ^ã^a vetor axial oposto alfa

^c?{a{b* segmento A{b. Nota-se a necessida- de do uso dos parên- teses au- xiliares (ver Marcas em sobrescri- to, item 2.3.2) ^:z arco z ^:?{a{b* arco A{b (ver Pa- rênteses auxilia- res, item 1.3)

?ã{a{b{c arco cor- responden- te ao ân- gulo A{b{c ¬:z ângulo z <81> ¬:?{a{b{c* ângulo A{b{c (ver Pa- rênteses auxilia- res, item 1.3) _- ângulo reto {û ângulo orienta- do posi- tivo

{ã ângulo orientado negativo ýú triângulo _" triângulo retângulo _y quadrado &y retângulo &o polígono õo circunfe- rência Nota: As letras que representam os pontos das figuras não leva- rão parênteses auxi- liares e escrever-se- -ão logo depois do símbolo da figura, sem deixar cela braille em branco. <82>

ýú{a{b{c triângulo de vértices A, B, C çyabcd retângulo de vértices a, b, c, d ?*z curva geométrica "z" 8.2 Medidas angulares 5° cinco graus (esta notação é usada tam- bém para graus de temperatu- ra)

7ü "sete minutos sexagesi- mais" 1üü "um segundo sexagesi- mal" ex.: 5° 7ü 1üü "cinco graus, se- te minu- tos, um segundo" #fâg "seis grados" 2âü "dois minutos centesi- mais"

9âüü "nove segundos centesi- mais" rad. "radi- ano" <83> 8.3 Relações e operações _l “é para- lelo a” _l= “para- lelo e igual a” #. “perpen- dicular a”; “orto- gonal a” ^? “oblíquo a”

$?; ê#ef#bf#bcã “homó- logo a”; “semelhan- te a” ~?. ê#e#bf#cã “equi- vale a” (usa-se para rela- cionar fi- guras de mesma área) _à projeti- vidade _ï perspec- tividade ^+ ê#d#bceã soma de vetores

^- ê#d#cfã diferença de vetores Quando não há lugar para dúvida, estes dois últimos sinais são substituídos pelos si- nais comuns de soma e subtração. <84> :,x.:,y cû pro- _ duto ~k:,x, _ esca- :,y{, -ã lar ou in- terno :,x por :,y ^" cû pro- ê#d#bcfã _ duto _ ve- $, _ to- ê#ef#bã -ã rial

<+ soma di- reta _<+ soma ortogo- nal <" produto tenso- rial {sâ#. com- plemento ortogonal de S <85> ::::::::::::::::::::::::

APÊNDICE I Algumas combinações de setas, traços e pontos ý:z :.z ý:.z ý:,z ~:.z ~:,z _a <86>

_. _k ~â â, ~â, ~<: :>, ^<: ý<:

¨ ^:> ý:> <87> ::::::::::::::::::::::::

APÊNDICE II Sinais braille disponíveis ô ï è î é :::::: :::::::: :::::: :::::::: ~ê ã, ~é é, ~é, :é, ^ê û' ¬ê û; :é é: :é: ~é: ô' {é ék {ék ~ék ^î ýó $ó _é él _él ~él {î {ó _î _ó ^é éa ^éa ^é. {â {í _â _í ýé é. ýé. ýéa ~á ú, á, ~ú ¬é éb ¬éb ¬é; :á ú: á: :ú $é é; $é; $éb á; $ú õé éo õéo ~éo ?} "* ê} "ã oé éõ oéõ ~éõ ^< ý< ?o õ* =é é= =é= {éo ~ü ü, ÿé é! ÿé! :éo := =: :=: -=: !é éÿ !éÿ ^éo "} !ÿ âí íâ ?é é* ?é* :éã ~î ~ó *é é? *é? {éã ~ç {ç ýç $ç "é é} "é} êé@ ïã úû _ú }é é" }é" ¬é, #ã ôû ôú #q -é é- -é- ¬é' <89> ::::::::::::::::::::::::

BIBLIOGRAFIA COMISSÃO BRASILEIRA DO BRAILLE. *Grafia Braille para a Língua Portuguesa*. Ministério da Educação/Secretaria de Educação Especial, Brasília, 2002. COMISSÃO BRASILEIRA DE BRAILLE/União Brasileira de Cegos. *Código Matemático Unificado para a Língua Portuguesa*. Fundação Dorina Nowill para Cegos, São Paulo. 1998. ORGANIZAÇÃO NACIONAL DE CEGOS ESPANHÓIS. *Código Matemático Unificado para a Língua Castelhana*. ONCE, Madrid, 1987. õxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxo Fim da Obra

Transcritor: Thiago Ribeiro Duarte Revisoras: Carla Gomes da Rocha e Vera Lucia Melo Borges da Costa