Titular e doutorando do CBPF escrevem sobre a formação de estruturas

A convite do Núcleo de Comunicação Social, o pesquisador titular do CBPF Nami Fux Svaiter e Alexis Davi Saldivar, seu aluno de doutorado, escrevem sobre um formalismo matemático obtido por eles e colaboradores para descrever como a presença de ruídos em sistemas leva à instabilidade, à transição de fase e, finalmente, à formação de estruturas. Esses resultados poderiam ser usados, por exemplo, para prever desde áreas devastadas em uma floresta em chamas à propagação de opiniões em uma rede social.

Formação de estruturas em sistemas fora do equilíbrio

Para onde olhamos na natureza, vemos o aparecimento de estruturas. Essas formações, regulares ou irregulares, sempre fascinaram o ser humano. Por vezes, dotadas de complexidade ímpar, aparecem tanto em sistemas inanimados quanto vivos.

No século passado, para modelar essas estruturas, surgiu um ramo da ciência chamado ciência da complexidade. Característica fundamental para a descrição desses sistemas ditos complexos é a ideia de que eles estão fora do equilíbrio. O conceito de equilíbrio é muito importante na física. Um trapezista, por exemplo, está em uma situação de equilíbrio dita instável; já alguém deitado em uma rede parada está em equilíbrio estável.

Outro conceito bem importante na formação de estruturas: a ideia de transição de fase, na qual, como a expressão sugere, sistemas mudam de uma fase para outra. Exemplo instrutivo: a formação de bolhas em um líquido que atinge a temperatura de ebulição. Nessa situação, temos duas fases no líquido, caracterizadas por suas respectivas densidades: a líquida e a gasosa.

Para modelar a formação de estruturas, grande parte da comunidade científica investiga sistemas que são alterados por uma perturbação exterior (ruído externo).

Posto isso, temos, então, uma tríade de conceitos: i) estabilidade e instabilidade; ii) transição de fase; iii) perturbação externa.

Duas ideias

Para descrever a evolução de sistemas físicos, são usadas equações de movimento. Por exemplo, a segunda lei de Newton é uma delas. Descreve como uma partícula se move quando submetida a uma força arbitrária. É dita uma equação é determinista, pois, dada a força, podemos determinar a trajetória da partícula.

A segunda ideia é a introdução de uma variável não determinista (no caso, ruído) em uma equação determinista. Quando isso ocorre, ela passa a ser chamada equação estocástica.

Exemplo clássico de emprego de equações estocásticas: a descrição do movimento de uma partícula ‘grande’ (pense em um grão de pólen) submetida aos choques das moléculas da superfície de um fluido.

Outro exemplo: a descrição da evolução dos preços das ações na bolsa de valores. Esses dois cenários têm algo em comum e que deve ser levado em consideração caso queiramos descrever o sistema: eventos inesperados. No primeiro caso, choques moleculares; no segundo, fatos políticos, econômicos etc.

Equações estocásticas podem descrever preços de ações em bolsas de valores

(Crédito: Pexels/Pixabay)

Memória ruidosa

O ruído que caracteriza nossa equação estocástica tem uma característica peculiar: é probabilístico. Não dá para saber como ele vai se manifestar e como isso vai afetar o sistema. Uma forma de driblar isso é levar em conta todas as possíveis manifestações do ruído. Com isso, por meio de ferramentas matemáticas, o ruído desaparece.

Mas as equações estocásticas guardam uma memória do ruído. Essa presença, ainda que imperceptível, leva o sistema a uma situação de instabilidade ‒ ou seja, a ficar fora do equilíbrio. É justamente nesse cenário que pode ocorrer uma transição de fase, situação na qual há formação de estruturas. Exemplos de sistemas típicos com esse comportamento: i) o surgimento de áreas desertificadas em razão de variações climáticas; ii) a configuração de florestas por processos hidrológicos.

Recentemente, foi apresentado, na literatura, formalismo matemático capaz de descrever as situações descritas até aqui: sistemas com ruído, instabilidade, transição de fase e formação de estruturas.

Formalismo do grupo de CBPF e colaboradores poderia prever áreas devastadas por queimadas

(Crédito: NASA)

Esse formalismo é baseado na generalização de um ferramental matemático poderoso e muito conhecido entre especialistas: a função zeta de Riemann ‒ em referência ao matemático alemão Bernhard Riemann (1826-1866) ‒, muito usada para investigar, por exemplo, como os números primos se distribuem ao longo do conjunto dos números inteiros.

Os resultados obtidos por nosso grupo de pesquisa conseguem prever não só o tipo, mas também o tamanho das estruturas criadas. Por exemplo, em vez de termos uma descrição da devastação que está em curso na floresta amazônica, poderíamos prever qual seria a área devastada daqui a cinco, dez ou mais anos. Esse mesmo formalismo poderia ser aplicado à propagação de epidemias ou a como opiniões se propagam nas redes sociais.

Nami Fux Svaiter

Pesquisador Titular

CBPF

Alexis Davi Saldivar

Doutorando

CBPF

Mais informações:

Matemática da desordem: http://portal.cbpf.br/pt-br/ultimas-noticias/grupo-do-cbpf-cria-novo-metodo-para-lidar-com-desordem

Artigo IMJP: Artigo no IJMP: http://www.worldscientific.com/doi/abs/10.1142/S0217751X1650144X

Artigo no PRD: https://journals.aps.org/prd/pdf/10.1103/PhysRevD.97.065017

Artigo no PRD: https://journals.aps.org/prd/abstract/10.1103/PhysRevD.96.065012