Grupo do CBPF cria novo método para lidar com desordem

O físico teórico e pesquisador titular do Centro Brasileiro de Pesquisas Físicas (CBPF) Nami Svaiter, a convite do Núcleo de Comunicação Social do CBPF, preparou, em linguagem para o grande público, o texto a seguir, em colaboração com Carlos Zarro, professor do Instituto de Física da Universidade Federal do Rio de Janeiro (IF/UFRJ).

Svaiter e Zarro apresentam um método – desenvolvido por eles e colaboradores e publicado em artigos recentes – para descrever sistemas físicos em que haja algum grau de desordem, como aqueles presentes em várias situações de nosso cotidiano: epidemias, catástrofes naturais, mercado de ações, incêndios florestais etc.

O método proposto pelo grupo não só dá fundamentação matemática àquele mais comumente usado atualmente para descrever sistemas com desordem, mas também reproduz com perfeição seus resultados.

Além de Svaiter e Zarro, o grupo é formado por Benar Svaiter, do Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada, no Rio de Janeiro (RJ); Gabriel Menezes, da Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro; e o doutorando do CBPF Róbinson Acosta. Em parte dos trabalhos, contou também com a colaboração do então estudante de mestrado do CBPF Christian Rodríguez-Camargo.

A MATEMÁTICA DA DESORDEM

A desordem está presente em todos os aspectos de nossa vida. Depois dessa afirmação, devemos definir o que entendemos por desordem. Não é difícil vislumbrar que, em várias situações de nosso cotidiano, aparece o imprevisível. Podemos imaginar uma situação na qual tudo está sob pleno controle, até que o cenário muda repentinamente, por causa de um fato que não estava no roteiro. Catástrofes naturais seriam exemplos da presença de desordem em nosso dia a dia.

A ideia que passamos é de uma situação em que está tudo equacionado, até que surja algo imprevisto. Por exemplo, mercado e economia são áreas muito propensas a isso. Neles, temos sistemas em evolução nos quais é muito difícil fazer um modelo matemático para prever o que vai acontecer. Além disso, quem conseguisse equacionar o comportamento do mercado de ações em um modelo matemático razoável estaria praticamente acertando na loteria.

Em sistemas com essa imprevisibilidade, o que deve ser feito, em uma primeira aproximação, é introduzir a noção de eventos com certa probabilidade. Por exemplo, quando se calcula uma prestação de seguro de carro, isso está sendo feito, pois, nessa prestação, está embutida a probabilidade de o carro ser roubado ou não.

Esses sistemas para os quais é muito difícil fazer um modelo matemático que descreva sua evolução e em que devemos introduzir a noção de eventos probabilísticos são chamados de sistemas complexos.

Graus de liberdade

Cabe, agora, salientar que, apesar de a física moderna ter introduzido essa noção quando construiu a mecânica quântica – teoria que lida com os fenômenos no universo atômico e subatômico –, esse formalismo não deve ser aplicado para sistemas macroscópicos. O que nos interessa é modelar sistemas macroscópicos que são descritos classicamente, ou seja, com a física que lida com objetos do nosso cotidiano, bem maiores do que átomos e moléculas.

Porém, antes de discorrer sobre o tema, gostaríamos de apresentar uma classe de sistema na qual o comportamento também se afasta da situação normal. Esses são chamados de sistemas caóticos.

Para descrever sistemas mecânicos, os físicos introduziram a noção de equações de movimento. Esse ferramental matemático descreve o comportamento do sistema, desde que sejam dadas as condições inicias. Por exemplo, o comportamento de uma partícula (uma bola) sujeita a uma força é descrito por um tipo de equação matematicamente mais complexa do que aquelas que aprendemos no ensino médio – tecnicamente, são denominadas equações diferenciais de segunda ordem no tempo.

Mas os matemáticos nos ensinaram que, para resolver essas equações, precisamos saber a posição e velocidade da partícula em um determinado instante. Tendo em mãos esses dois dados, podemos dizer onde a partícula estará em um momento futuro.

Agora, vamos imaginar a seguinte situação. Duas partículas partem de posições bem próximas, na mesma direção e sentido, com velocidades também parecidas. O senso comum nos diria que elas estariam próximas em todos os instantes de tempo. Nos sistemas onde isso não acontece, dizemos que existe caos. Uma linha de pesquisa bastante desenvolvida é investigar o comportamento quântico desses sistemas, que são caóticos quando vistos pela perspectiva clássica. Em outras palavras, queremos quantizar sistemas clássicos caóticos.

Entretanto, não vamos nessa direção. A desordem em que estamos interessados aqui é de outra natureza. Primeiramente, a maioria dos sistemas que queremos descrever tem um número muito grande de partículas. Assim, o formalismo a ser empregado deve dar conta dessa característica, a qual os físicos denominam ‘infinitos graus de liberdade’, termo para designar um sistema com muitos constituintes.

A teoria clássica de campos é exatamente isso. Um formalismo matemático que descreve um sistema com um número muito grande de graus de liberdade. Um fluido, um gás a baixas temperaturas etc. Por sua vez, a teoria quântica de campos é também exatamente isso: um formalismo que dá conta de um número muito grande de graus de liberdade no qual usamos a interpretação probabilística da mecânica quântica.

Elementos probabilísticos

Antes de introduzir desordem em sistemas descritos pela teoria quântica de campos, vamos discutir rapidamente sistemas clássicos desordenados. Imaginemos uma floresta que está pegando fogo. Um dado importante é saber como a área do incêndio aumenta no tempo.

Incêndio experimental de floresta em território da região noroeste do Canadá realizado em 2004

(Crédito: Wikimedia Commons)

Em outras palavras, queremos encontrar uma equação matemática que descreva o aumento da área incendiada. Essa equação é conhecida como equação de KPZ, referência aos três físicos que a desenvolveram, o iraniano Mehran Kardar, o italiano Giorgio Parisi e o sino-suíço Yi-Cheng Zhang, em 1986. Em termos matemáticos, é uma equação de difusão não linear na qual introduzimos desordem. Polímeros (plásticos, biomateriais etc.), macromoléculas permeiam nosso cotidiano, são descritos pela equação de KPZ.

Outro exemplo clássico: vidros de spin . Esses são sistemas magnéticos desordenados em que os spins – que podemos imaginar como ‘agulhas de bússolas’ subatômicas – interagem de maneira aleatória. A situação de equilíbrio (ou desordem) consiste em spins aleatoriamente alinhados. Por analogia com sistemas vítreos – em que a posição de cada átomo é irregular –, chamamos esses materiais de ‘vidros’.

Os modelos matemáticos que descrevem esses sistemas também introduzem nas equações componentes probabilísticos. Esses modelos podem descrever, por exemplo, como uma epidemia se alastra, pois, quando temos duas pessoas que se encontram (uma doente e outra sã), não necessariamente a primeira ficará será infectada. Temos que colocar certa probabilidade de isso acontecer. Outro exemplo bastante instrutivo: o comportamento de ondas em cuja descrição introduzimos obstáculos que modificam sua propagação.

Novamente, nas equações de movimento que descrevem essas ondas, devemos colocar informação probabilística para descrever esse sistema.  Outra situação bastante estudada é a propagação de elétrons em meios desordenados. Nesses casos, nos perguntamos: como a condução da eletricidade é alterada se temos materiais com defeitos? Para modelar esses defeitos, novamente, introduzimos elementos probabilísticos.

Bóson sujo

Voltando à discussão inicial. Temos que modelar o imprevisível, e isso é feito introduzindo elementos probabilísticos nos modelos. A linha de pesquisa desenvolvida por nosso grupo de pesquisa no CBPF trata de descrever sistemas clássicos ou quânticos nos quais as equações de movimento têm elementos aleatórios.

Nesse sentido, um exemplo bastante instrutivo é o condensado de Bose-Einstein, fenômeno no qual um aglomerado de átomos se comporta como uma entidade única, um ‘átomo gigante’. Esse fenômeno foi produzido em laboratório em 1995, cerca de sete décadas depois de proposto teoricamente, e sua obtenção rendeu o Nobel de Física de 2001 a seus autores.

Imagem computacional com picos da aglomeração de átomos de rubídio em um condensado de Bose-Einstein

(Crédito: www.nobelprize.org)

Não é difícil encontrar uma situação em que esse ‘gás’ é perturbado, de modo que uma desordem controlada é introduzida no sistema. A descrição do comportamento desse gás com desordem tem atraído atenção da comunidade cientifica. Esse tema é conhecido como ‘problema do bóson sujo’ [ dirty boson problem ] – ‘sujo’, no caso, refere-se à desordem.

Sem truques

Qual foi a grande contribuição de nosso grupo para essa linha de pesquisa?

Existe um método que é usado para descrever sistemas com desordem conhecido na literatura com o ‘método das réplicas’. O problema é que ele não tem fundamentação matemática apropriada – sobre a qual não trataremos aqui, dada sua complexidade. Por essa (e outras razões), é conhecido como ‘truque da réplica’ [ replica trick ].

Esse método tem problemas não só em sua estruturação matemática, mas também em sua interpretação física dos resultados. O que nosso grupo conseguiu foi apresentar uma proposta bem fundamentada matematicamente na qual a interpretação física dos resultados também é facilmente obtida.

O truque das réplicas surge para resolver um cálculo de maneira simplificada. De modo simples, o que ocorre é isso: são construídas N cópias do sistema que se quer estudar, chamadas de réplicas. O truque consiste em fazer os cálculos considerando N réplicas e, no final, fazer N = 0. Assim, essa situação descreve um sistema físico de... zero réplica!

Esse fato faz com que parte da comunidade científica questione a interpretação física de todo o procedimento do ‘truque das réplicas’. A diferença fundamental entre nosso modelo e o de réplicas é que, no fim, não é necessário tomar o limite de N = 0.

Nosso modelo foi delineado recentemente, sendo que os primeiros resultados foram publicados ano passado, no International Journal of Modern Physics A , por dois integrantes do grupo (Benar e Nami Svaiter). Nesse artigo, foi demonstrada uma identidade matemática para descrever o que os físicos denominam ‘energia livre’ – no caso, de um sistema desordenado –, termo que pode ser entendido como a totalidade da energia de um sistema (por exemplo, máquina a vapor) disponível para executar trabalho ‘útil’ (produzir movimento).

As primeiras aplicações

A primeira aplicação física de nosso modelo foi efetuada para a descrição de polímeros (plásticos) em meios desordenados. Nesse cenário, mostrou-se que a nova técnica reproduz com fidelidade os resultados obtidos pelo ‘truque das réplicas’.

O próximo passo foi a aplicação do formalismo a um sistema ferromagnético sob a ação de um campo magnético aleatório. Esse trabalho foi publico em Physical Review D . Nesse artigo, mostramos o aparecimento do fenômeno de quebra espontânea de simetria para as réplicas. Vale a pena lembrar que o conceito de quebra espontânea de simetria foi largamente utilizado na física teórica nos últimos 40 anos, para descrever, entre outros fenômenos, supercondutividade e superfluidez, bem como a unificação das forças eletromagnéticas, fracas e fortes. E foi também o ferramental usado para prever a existência do bóson de Higgs, descoberta recentemente no Centro Europeu de Pesquisas Nucleares, resultado que deu o Nobel de 2013 para dois físicos teóricos.

Mostramos que, nesse material ferromagnético submetido a um campo magnético aleatório, ocorre uma transição de fase, ou seja, formam-se diminutas regiões (domínios) em que os spins estão todos apontando em uma única direção, quando a temperatura do sistema é muito baixa (cerca de 270 graus celsius negativos). Esse fenômeno não é previsto quando se aplica, ao mesmo sistema, o ‘truque das réplicas’. Nosso formalismo foi além: em outro modelo, descreveu o surgimento, nesse sistema, de situações análogas aos vidros de spin , ou seja, em que os spins apontam para direções aleatórias.

Em resumo, com o procedimento alternativo ao truque das réplicas, nosso grupo apresentou uma proposta que, além de ser matematicamente bem fundamentada, pode obter resultados não triviais, os quais o truque das réplicas não é capaz de alcançar.

Nami Fux Svaiter

CBPF

Carlos Zarro

IF/UFRJ

Mais informações:

Equação KPZ: https://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.56.889

Artigo no IJMP:

http://www.worldscientific.com/doi/abs/10.1142/S0217751X1650144X

Aplicação em polímeros: arXiv:1609.07084

Aplicação em sistema ferromagnéticos:

https://journals.aps.org/prd/abstract/10.1103/PhysRevD.96.065012